[추리] 이거 증명해줄 수 있나요?????

[루리웹-26799723]

제가 영재학급에서 듣기로는

자연수의 개수, 정수의 개수, 유리수의 개수는 모두

같다고 합니다..

그런데, 실수의 개수는 좀 다르다고 한다던데....

왜 그런가요?? 혹시 실수=유리수+무리수에서

뭔가 무리수에 special한 게 있나요??

[폭풍 맨]

폭풍 어려운듯;;

[aksiz]

http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8C%80%EA%B0%81%EC%84%A0_%EB%85%BC%EB%B2%95

[ghjs]

집합론에 따르면, 만약 어떤 집합과 다른 집합 사이에 일대일 대응 함수가 존재하면 같은 cardinal에 있다고 합니다. 자연수, 정수, 유리수의 경우 서로 일대일 대응 함수가 존재하지만 실수의 경우 그것이 존재하지 않습니다.

[ghjs]

집합론의 서수라는 개념으로 이해하면, 자연수는 정수와 일대일 대응이 되고, 유리수가 서로소인 a,b로 a/b라는 수라고 했을 때 2^a*3^b라는 함수와 일대일 대응이 됩니다.(2와 3의 공배수 집합은 자연수 집합의 부분집합인데, 이 또한 서로 같은 cardinal을 가집니다). 그러나, 실수의 경우 실수의 완비성 공리에 의해 항상 a,b사이에 c라는 실수가 있어 일대일 대응이 존재하지 않습니다.

[루리웹-26799723]

그냥 전 중학생이니까 궁금해만 하고
침묵해야 할 듯 하네요

[aksiz]

갯수가 같다는건 간단히 말해 서로 짝을 지을 수 있어야 합니다. 짝수와 홀수의 예를 보면
짝수:2 4 6 8 ...
홀수:1 3 5 7 ...
이런식으로 짝짓기가 가능하죠. (f(2)=1, f(4)=3 이런식으로)
근데 실수와 자연수의 경우는 이런식의 짝짓기가 불가능합니다.
이것에 관해서 유명한 증명은 제가 위에 올린 링크에 나와 있습니다.

[aksiz]

대충 설명하자면 실수를 억지로 자연수에 대응시킨다고 가정하더라도, 누락된 실수가 최소 한개는 무조건 생긴다는걸 증명할 수 있습니다.