[퀴즈] 역설의 문제

[ghjs]

아킬레우스와 거북이라는 유명한 딜레마가 있습니다.

이는, 즉 아킬레우스와 거북이가 달리기 경쟁을 하는데, 공평성을 기대하여 거북이가 1m 앞서서 달리게 된다면 아킬레우스는 절대 거북이를

앞서지 못한다는 주장인데요.

왜냐하면 만약 아킬레우스가 거북이를 따라잡을만큼 이동을 했을 때, 그만큼 거북이가 아주 조금이라도 움직이기 때문에 거북이가 앞서있고,

또 그 조금을 따라갔을 때 거북이가 또 앞서있기 때문에 이 과정이 무한적으로 반복되어 아킬레우스는 영원히 따라잡을 수 없다는 주장이였습니다.

이는 당연하게 시간은 무한정으로 쪼갤 수 없다, 무한적으로 행동하는 일련의 과정 속에서 거북이와 아킬레우스가 동일한 지점에 있는 시간대까지의 시간을

무한으로 쪼갠 것에 불과하다는 반론으로 깨졌죠.

그렇다면 이 케이스는 어떨까요?

전구를 만든다고 합시다.

이전구는 0초에 꺼져있으며, 1초에 켜지고, 1/2초가 또 지나면 꺼지고, 1/4초가 지나면 켜지면서 2분의 1를 나누어서 번갈아 켜지고 꺼지는 전구입니다.

이것은 기술이 발달된다면야 당연히 현실에 구현할 수 있는 기계입니다.

그렇다면, 이 전구는 2초 지점에서 켜져있을까요? 아니면 꺼져있을까요?

[늑대가나타남]

수학적으로 보면 무한이 2에 가까워 지지만 2가 될수 없으므로 결과적으로는 꺼져 있다

[스터드볼]

2초는 영원히 오지 않습니다. 1과 2사이의 수많은 숫자... 1.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 영원히 .. 999999999999999999999999999999999999999999
2는 오지 않습니다. 아킬레스 거북이 딜레마랑 같은 접근.

[스터드볼]

결론 : 그냥 말장난 같은 겁니다.

[루리웹-26799723]

아니,,,,, 순환 소수에 대해 알아야 할 듯...
이게 무한과 순환 소수 사이에서 꽤 헷갈림...
무한적으로 보면 1.99999999999999999999999999999~~~~~~~~~~가 되지만.
저번 시간 영재학급에서도 한 건데 이게 설마 틀릴까.
이를 순환소수 1.9로 해석하고 보면 결국 2가 됩니다.. 이거 진짜 말장난 같지만...
무한적으로 봐야할 지 순환소수적으로 봐야할지
0초 꺼짐. 1초 켜짐. 1.5초 켜짐. 1.75초 꺼짐. 1.875초 켜짐. 1.9375초 꺼짐.... 암튼 켜지고 꺼지는 것은 모르지만
1+1/2+1/4+1/8+....은 순환소수적으로(내 주장)보면 2초(영재학급에서 배운 것)는 됩니다.

[스터드볼]

앗.. 이분은 전에 그 천재님이네...

[ghjs]

2초는 반드시 오죠. 시간을 점점 반으로 줄여가면서 켜짐과 꺼짐을 반복하는 기계는 기술이 된다면야 이론적으로 절대 무리가 없는 기계지만, 2초는 반드시 옵니다.

[ghjs]

그리고 1+1/2+1/4...는 순환소수가 아니라 엄밀히 말해서 등비수열의 합을 극한으로 보내는 식입니다.

[ghjs]

스터드볼//1.9999...는 2입니다. 실수의 완비성 공리에 의해 이미 증명되었습니다.

[스터드볼]

그... 그렇군뇽;;

[루리웹-26799723]

저 중학생이에요.....ㅠㅠㅠㅠ
그러니까 등비수열의 합에서 등비도 모르겠구요....
근데, 영재학급에서 들어본 적 있는 듯...
어쨌든 1.9999999999999....초는 순환소수라 2초라고 했을 뿐... 등비수열은 모르겠네요 -_-

[aksiz]

현실이라면 엄청 빠른 속도로 켜졌다 꺼졌다를 반복할테니 켜진 것처럼 보이겠죠. (실제론 알 수가 없겠지만요.)

[명박그네]

당연히 켜져있습니다. 정확히 말하면 불이 들어와 있습니다. 2초가 될때까지 극한의 빠르기로 켜지고 꺼지고를 반복한다면 불빛은 끈다고 해서 바로 사라지지 않으므로 켜져있습니다. 정확히 말하면 불이 들어와 있습니다!

[루리웹-26799723]

위에 말도 물론 일리는 있습니다... 1.9999999999999999999.....
그런데, 등비수열이라는 게 있나봐요 --- 암튼 그 원리로 2가 된다는데... 전 순환소수 외에 뭐... 아는 것도 없고.
계속하다보면 1+2의 무한제곱-1/2의 무한제곱이 됩니다.
이 때, 어떤 수를 무한제곱을 하면 제 생각에는 무한인 듯합니다.
그러면, 1+ 무한-1/무한 인데 무한이라는 상태에서 1를 뺀다 한 들 무한입니다.
따라서, 1+무한/무한으로 바꿔도 무관... 하니까 2일 거 같은데....
순환소수로 간단히 보고싶은데 무슨 실수의 완비성이고 뭐고... 복잡하네.

[소프!]

보실진 모르겠지만 몇가지 적어보죠.
우선 등비수열은 언제 배우는지는 기억이 안나는데
전체 합을 S 라고 하고 각 항을 a0 a1 a2 ... 이런식으로 생각했을때
S = a0 + a1 + a2 + ... + an(n번째 항) + ....
이와같이 수열로 표현할 수가 있구요.
위의 경우에서 on/off의 시간텀으로 위 식을 채워보면
a0 = 1 , a1 = 1/2, a2 = 1/4, a3 = 1/8 ... an = 1/2^n 이 되죠
1항씩 넘어갈때마다 1/2씩 곱하는 꼴이 되니
수열 간에는 1/2라는 동일한 비율이 곱해지는 꼴이라서
이를 공비수열이라고 부릅니다. 무한대로 진행되니 무한공비수열이죠.
우리가 구하는건 합이니 무한 등비 급수라고 부릅니다(급수 라는 말은 級數 일본식 번역일겁니다 아마)
영어로는 geometric series라고 합니다.

합인 S를 구하는 방법은 유도식은 기억이 안나지만(기억이 나도 타이핑하긴 힘들듯)
초항 / (1 - 공비) 가 되구요. 즉 1 / (1-1/2) 가 되어 2라는 값이 나옵니다.
여기까지가 중고등학교급 증명.

[소프!]

수학과에서는 위와 같은 증명이 맞다고 얘기할지도 모르겠네요.
전문적인 수학적 지식이 없는 공대생이지만 일단 제 지식선에서 말씀드리면
2에 수렴한다는 것과 2라는 것에는 조금 차이가 있습니다.
x = 1.99999999999..... 는 계속적으로 2에 수렴하는 값입니다.
순환소수의 입장에서 보면 10x-x = 18이 되어서 x = 2 라는 결과가 나오죠.
하지만 이는 이해를 쉽게 하기위한 방법이라고 생각하시면 되고
엄밀히 말씀드리면 x -> 2라고 표현하는게 맞습니다. (이에 관해서는 고등학교 과정에서 극한을 배우시면서 알게 되실겁니다.)
위의 꼴도 S->2가 맞습니다. 2에 무한히 근접하지만 2라는 값이 나오지 않습니다.
자세한 내용을 원하시면.. 만나서 말해야하지 않을까요 ^^:

[소프!]

어쨋든 결론만 놓고 본다면
그래프의 x 축을 n , y 축을 S라고 놓고 보면
우리가 원하는 건 S = 2일때의 n의 값이지만
함수의 치역은 S 가 [0, 2) ( 0은 포함, 2는 미포함) 이 되므로
저 조건만으론 알 수 없다가 됩니다.

[빠쇼빠쇼빠쇼]

이건 말이 안될텐데요? 왜냐면 0.999999....., = 1이라고 증명할 수 있습니다.
위 말대로라면 아킬레우스로부터 거북이가 점점 멀어져서 결국엔 0.999999999....만큼까지 멀어지지만 1만큼 도달하지 못하기 때문에
잡을 수 없다지면 앞서 말한대로 0.999....는 =1 1이라고 증명이 되어있는거기때문에 못잡는다는건 말이 안됩니다.

[루리웹-15875328]

질문자가 이미 답을 써놨네요. 시간을 무한히 쪼갤 수 없습니다. 때문에 스위치도 무한정 발달할 수 가 없네요.