[퀴즈] 또 확률 문제 하나

[이기가byte]

안대로 완전히 눈을 가린 상태에서 3명에게 파란색 또는 빨간색 모자가 하나씩 씌워졌다. 세 사람이 쓰고 있는 모자는 모두 빨간색이거나 파란색일수도 있고 하나가 빨강, 둘이 파랑일 수도 있고 하나가 파랑, 둘이 빨강일 수도 있다고 한다. 안대를 벗은 후 다른 두 사람의 모자는 볼 수 있어도 자신의 모자는 볼 수가 없다. 자신의 모자 색을 종이에 써서 맞혀야 하는데 셋 중에 한 명이라도 정확하게 맞히면 세 명 모두에게 1000만원씩을 주겠다고 한다. 그러나 셋 중 한 명이라도 잘못된 색을 쓸 경우 세 명 모두에게 아무것도 없다고 한다. 자신 없으면 "기권"라고 쓰면 잘못된 색을 쓴 것으로 취급하지 않겠다고 한다. 게임이 시작되기 전에 셋이서 작전 회의를 할 수 있으나 게임이 시작되면 서로 어떤 수단으로도 의사소통을 할 수 없다고 한다. 어떤 작전으로 성공 확률을 최대로 높일 수 있을까?

[구명랑]

세 사람이 작전 회의를 해서 이렇게 말합니다. .
"시작과 동시에 하나, 둘, 셋을 센 후에 자기에게 보이는 모자의 색깔이 같으면 펜에 손을 대기로 하자."
게임 시작 후에 만약 한 사람이 펜에 손을 댄다면 나머지 두사람의 모자 색이 같은 것이므로 나머지 두 사람은 서로 상대방 모자 색깔을 쓰면 되고 펜이 손을 댄 사람은 보이는 모자의 반대색을 쓰면 됩니다.
만약 모자색이 모두 같다면 세사람이 동시에 펜에 손을 대게 됩니다. 그러면 모두 같은 색이므로 보이는 모자색을 쓰면 됩니다.
그럼 100% 맞출 수 있습니다.

[이기가byte]

아~! 그렇게 하면 성공 확률 100%가 틀림없군요. 답변 고맙습니다. 이 훌륭한 답과 "너무 간단해서 답을 쓰기가 좀..." 이 말은 같은 분에게서 나온 말이 아닌 것 같은 느낌이군요.

그런데 내가 "성공 확률을 100%로 하는 것은 불가능하지 않을까?" 하고 말한 것은 <게임이 시작되면 서로 어떤 수단으로도 의사소통을 할 수 없다.>고 한 말 때문이었는데 “펜에 손을 대거나 코를 만지면 너희들 둘의 모자색이 같다”고 정보를 주고받는 것은 다른 말로 하면 의사소통을 하는 것이지요. 그걸 못하게 하기 위해서 안대로 눈을 가리고 세 명에게 모자를 씌운 다음 안대를 풀고 잠간동안 다른 두 명의 모자를 보여준 후 각자 다른 방으로 데리고 가서 방안 탁자에 놓인 펜과 종이를 이용하여 답을 쓰게 한다면 얘기가 달라지겠죠? <게임이 시작되면 서로 어떤 수단으로도 의사 전달을 할 수 없다.>고 할 때 성공 확률을 최대로 높이는 작전은 무엇일까요?

[구명랑]

확률적으로 봤을 때 모두 같은 색의 모자를 쓸 확률은 25%, 한 명은 다른 색의 모자를 쓸 확률은 75%입니다. 따라서 자기 눈에 보이는 모자가 다른 색이라면 "기권"을, 같은 색이라면 반대의 색을 씁니다. 그러면 75%의 확률로 맞출 수 있습니다.
하지만 만약 문제를 내는 사람이 이 사실을 알고 있다면 일부러 같은 색의 모자 3개를 씌울 수도 있다고 생각합니다. 따라서 그 헛점을 찔러서 보이는 모자 색과 같은 색을 써도 될 것 같다는 생각이 듭니다.

따라서 확률적으로 모자가 씌워질 경우에는 첫번째 답을 문제를 내는 사람이 직접 모자를 씌울 경우에는 두번째 답을 선택하겠습니다.

[이기가byte]

문제를 만든 사람의 의도는 75%라는 답이었을 것 같습니다. 아마도 심리전을 요구하는 문제는 아닐 듯.