[유머] 수학적 증명에 쓰이는 가장 큰 수 '그레이엄 수'

[세미 선생님]

좀 길지만 수학에 관심있는 유게이라면 한 번쯤은 읽어봐도 좋을듯

세상에서 가장 큰 수는 무엇일까?

수는 무한이기 때문에 가장 큰 수라는건 존재할 수 없다.

하지만 인간은 상상하는 동물로서 오랜옛날부터 큰 수를 지속적으로 생각하고 만들어왔다.

여러 기록이나 문헌에서 등장한 수를 비교한 표를보자

무량 대수나 구골까지는 대충 들어본 사람도 있을텐데

 그 이후부터는 생소하고 난해한 숫자들이 대부분일 것이다.

이제 본격적으로 설명할 그레이엄 수가 얼마나 큰지 감을 조금이나마 잡기 위해 

그레이엄 수 보다 훨씬 작지만 많이 알려진 수를 설명해보자면

1.구골

10100

첫번째로 구골은 1뒤에 0이 100개 있는 수로 직접 표시해보자면

10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000이다

우주 전체에 존재하는 모든 원자의 숫자는 대략 1080개 정도로 추정되며, 

따라서 구골은 모든 원자의 개수보다 1020배(1해배)큰 숫자이다.

벌써부터 어마어마한데 이 수는 1938년에 수학자 에드워드 카스너가 

10살짜리 조카에게 어마어마하게 큰 수의 이름을 생각해 보라고 하자

 돌아온 대답이 구골이었다는 일화가 있다. 

우리가 잘 알고 있는 기업인 '구글'도 원래는 이름을 구골로 지으려고 했다.

2. 구골플렉스

1010100

쉽게 말해서 1뒤에 0이 구골개만큼 있는 수

이 수가 얼마나 크냐면 이 수를 마이크로소프트 워드문서에 적기 위해선 20조 기가바이트의 저장용량이 필요하다고 한다.

또한 다른 예를 들어보자면 인간 정도의 크기인 1m³크기의 공간에서 양자가 배열될 수 있는 경우의 수는 101070이다. 

즉, 만약 우주가 1 구골플렉스 세제곱미터 정도로 컸다면, 자신이 차지하고 있는 공간과 양자가 똑같이 배열되어 있는 공간을 만날 가능성이 상당히 높아져 

자신의 도플갱어를 볼 수도 있다.

쉽게 설명하자면 지금 폰으로 유게를 하고 있는 유게이와 똑같은 체형, 똑같은 옷, 똑같은 스마트폰 재질 등의 성질이 완전히 같은 유게이가 존재할 수 있다는 것이다. 

여기서 말하는 도플갱어는 위 사진처럼 단순히 얼굴만 비슷한게 아니라 복사 붙여넣기 한것마냥 원자배열까지 완전히 똑같다. 

 하지만 우리의 우주는 1구골플렉스 세제곱미터보다 훨씬 작으므로 나와 완전히 빼다박은 사람의 존재를 기대할 수는 없을듯하다.

3. 푸앵카레 회귀시간

푸앵카레 재귀정리는 특정한 계는 충분한 시간이 지난 후에는 초기상태와 아주 가까운 상태로 회귀한다는 내용의 정리이다.

푸앵가레 회귀시간이란 우리가 살고있는 우주가 멸망하고 무한하게 다시 생겨난다고 가정할 때

 지금의 상태가 반복될 때까지 걸리는 시간을 의미한다.

쉽게 말해서 지금 우리가 살고있는 우주가 오랜세월이 지나 멸망한 후에 수많은 우주가 생겨나고 

없어지고를 반복하면서 지금의 우주와 완전히(혹은 거의 차이가 없는) 같은 역사를 가진 우주가 생기는데까지 걸리는 시간이다.

빅뱅직후 지금의 우주와 똑같은 비율로 물질이 흩어지고 똑같은곳에 우리 은하, 태양계, 지구가 생성되고

정확히 같은 타이밍에 생명체가 생겨나고 인간이 등장하고 지금 이 글을 읽는 유게이가 정확히 이 시간에 다시 이글을 읽는다는게 푸앵카레 회귀시간이다.

만약 지금의 역사와 완전히 똑같은데 작성자의 키만 지금보다 5cm 더 큰 우주가 있다고 생각해보자.

그런 우주는 지금의 우주와 아주 비슷하지만 완전히 같다고는 할 수가 없다.

생각을 더 해보면 나라는 존재만 없는 우주도 있을것이고 지구만 없는 우주도 있을 것이다.

경우의 수만 생각해봐도 너무나도 많다.

이런 상황에서 지금과 똑같은 우주가 생겨난다면 과연 얼마나 오랜 시간이 걸릴까?

이제 이 수가 얼마나 큰지 어느정도 알았으리라 생각한다.

이 수만 하더라도 너무 커서 이해하기가 곤란한데 정작 이 글의 주인공인 그레이엄 수는 아직 시작조차 하지 않았다.

4. 그레이엄 수

이제 본격적으로 이 글의 주제인 그레이엄 수에 대해 알아보고자 한다.

먼저 사람이 생각해낸 수중에서 가장 큰 수는 그레이엄 수가 아니다.

빅 풋 이라던가 피쉬 수 등 사람이 창조해낸 수 중에 그레이엄 수보다 큰 수는 얼마든지 있다.

그러면 왜 큰 수중에서 그레이엄 수가 가장 유명할까?

그것은 바로 수학적 증명에서 등장하는 가장 큰 수가 바로 이 그레이엄 수이기 때문이다.

그러면 이 그레이엄 수가 사용된 문제는 과연 무엇일까?

                      n차원 초입방체의 2ⁿ개의 꼭짓점을 모두 직선으로 연결한다. 그리고 이 선들을 2가지 색을 사용해 칠한다.

 이 때 n이 충분히 크다면 칠하는 방법에 상관없이 동일 2차원 평면상에 있는 네 점을 연결한 6개의 선이 모두 같은 색인 것이 반드시 존재한다.

여기서 조건을 만족하는 충분히 큰 수 'n'가 바로 그레이엄 수다

그런데 문제를 봐도 무슨 문제인지 이해하기가 어렵다.

문제에 대한 이해는 넘어가고 이제부터 이 수가 얼마나 큰지 알아보도록 하자

그레이엄 수는 일반적인 거듭제곱을 사용해서는 나타낼 수가 없으므로 새로운 방식을 사용해야 한다.

그레이엄 수를 표기하기 위해선 커누스 윗 화살표 표기법을 알아야 한다.

커누스 윗화살표 표기법 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)

그레이엄 수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)

 내가 솔직히 설명을 잘 하는 편이 아니라서 이해가 잘 안간다면 위 링크의 글을 한 번 읽어보자 

3 ↑ 3 = 3³ = 27

그레이엄 수의 기본은 3이다

그리고 화살표 하나는 거듭제곱으로 표현할 수 있다.

그렇다면 화살표 2개는 어떻게 표현할까?

3 ↑↑ 3 = 3 ↑ 3 ↑ 3

     = 3 ↑ 27

                  = 7,625,597,484,987

즉 3의 27승이므로 약 7.6조가 나온다

화살표 2개만 썻을 뿐인데 벌써 숫자가 7조를 넘어간다

그렇다면 화살표 3개는 어떨까?

3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ 3 ↑↑ 3

               = 3 ↑↑ (3 ↑ 3 ↑ 3)

            = 3 ↑↑ (3 ↑ 27)

                       = 3 ↑↑ 7,625,597,484,987

             = 3 ↑ 3 ↑ … ↑ 3

즉 3을 거듭제곱으로 7,625,597,484,987개의 지수탑을 쌓아올린것이다.

벌써 앞서 설명했던 푸앵카레 회귀시간을 훌쩍 뛰어넘어 버렸다.  

실제로 계산을 조금만 해봐도 알겠지만 정말 무지막지하게 큰 수다.

시작한지 얼마 안됐는데 이 단계부터 수가 상상하지 못할 정도로 커져버렸지만 사실 그레이엄 수는 아직 시작조차 하지 못했다.

그레이엄 수의 본격적인 시작은 3 ↑↑↑↑ 3 부터라고 할 수 있다.

3 ↑↑↑ 3 도 엄청나게 큰데 화살표 1개가 더 추가된 3 ↑↑↑↑ 3 이 얼마나 클지는 말안해도 알것이다.

이제 3 ↑↑↑↑ 3 을 gn 수열의 1번째 항이라고 정의한다.

  g₁ = 3 ↑↑↑↑ 3 

그러면 g2는 얼마일까?

  g2 = 3 ↑…↑ 3 (화살표가 g1개)

즉 g2는 무려 화살표의 개수가 g1개이다!

앞의 계산에서 화살표가 겨우 1개 늘어날 때마다 수가 기하급수적으로 커진다는것을 보았는데 

화살표의 개수만 3 ↑↑↑↑ 3 개라고 하니 이젠 화살표의 갯수조차 몇개인지 헤아릴 수 없게 되었다.

계속 진행을 해보면

g3 = 3 ↑…↑ 3 (화살표가 g2개)

g4 = 3 ↑…↑ 3 (화살표가 g3개)

…

g63 = 3 ↑…↑ 3 (화살표가 g62개)

g64 = 3 ↑…↑ 3 (화살표가 g63개)

그 다음 항도 마찬가지로 g3은 화살표가 g2개, g4는 화살표가 g3개인데

 이 과정을 반복해서 구한 64번째 항 g64가 바로 그레이엄 수 이다.

우리는 그레이엄수가 얼마나 큰지, 또한 거기에 필요한 화살표 조차 어느정도인지 가늠해볼 수 없다.

한 수학자는 "우리가 그레이엄 수를 머리로 계산한다고 한다면 그 광대한 정보량을 버티지 못하고 블랙홀이 될것'이라고 했다. 

또한 가장 작은부피인 플랑크 부피(4.22419×10⁻¹⁰⁵ m³)로 그레이엄수를 적는다 해도 우리우주는 그레이엄수의 티끌만큼도 적어내는것이 불가능하다.

하지만 이렇게 거대한 그레이엄 수도 무한대 앞에서는 아무것도 아니라는 것

이런점이 바로 수학의 매력이 아닐까 싶다.

처음으로 닉값 한 번 해봄ㅎㅎ

[PuppleStorm]

설명 보니까 그레이엄 수가 오히려 무한대보다 크게 느껴짐.......

[출근은내일 밤샘은오늘]

무한대는 중고등 수학만 해도 뺀질나게 납셔주시니까 뭔가 익숙하지

[루리웹-8271787439]

무한대만 알면됬지 하여간 필멸자들은 ㅡㅡ

[멍청한라붕이]

먼소린지모르겟어!

[닥추요정]

[루리웹-9483366732]

[ 문과 졸업 후 재밌는 유머글을 찾아 이곳에 온 나 ]

[프락치카푸치노]

세미 선생님! 가터벨트!

[Mystica]

여기서 중요한 포인트는
구골이나 구골플렉스는 아무 의미 없이 적당히 이름붙인 거지만 그레이엄 수는 진짜로 필요해서 가져왔다는 거.

[내일은내가대세]

수학 ㅇㄷ

[김 스뎅]

갑자기
분위기
그렌라간

[극한인생]

[갈매기수염]

와 담에도 이런 글 써줘

[루리웹-154154154]

이런거 조아

개드립 읽판에서 골드바흐 추측 같은 수학 얘기 써둔거 본적있었는데 다시봐도 재밌네

[루리웹-154154154]

생각해보니 콜라츠 추측도 있었네 ㅋㅋㅋ

[간사합니다]

수학 기호 이름
와드 ㅇㄷ 유두

[루리웹-4906941896]

정보량 만으로 블랙홀이 되버릴거다는 표현이 너무 좋다