[퀴즈] 퀴즈 5 (문제 수정)

[Drrrr]

# 1.

 성냥을 두 개만 옮겨서 가장 큰 수를 만들어 주세요.

 (굉장히 버라이어티한 답들이 나올 수 있습니다만;; 초등학생도 이해하고 누구나 수긍할 수 있을 만큼 자연스러운 답이 좋지 않을까 생각해 봅니다...)

# 2.

 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, ?

 ?에 들어갈 숫자는 무엇일까요? 

# 3. 

 두 개의 알이 있습니다. 이 알들은 달걀보다는 단단해서 쉽게 깨지지 않습니다.

 하지만 그 강도를 정확히는 모르는데, 어쩌면 100층 높이에서 떨어뜨려도 알이 깨지지 않을 수 있습니다.

 이제 100층짜리 건물에서 알을 떨어뜨려 그 단단함을 시험해 보고자 합니다.

 우리가 알고 싶은 것은 ‘알을 지상으로 떨어뜨려도 알이 깨지지 않는 최고 층수’입니다.

 두 개의 알을 최소한 적게 떨어뜨려 그 의문을 해결하기 위해서는 어떻게 해야 할까요?

 (가속도, 공기저항, 위치에너지 같은 어려운 개념은 잠시 접어두시고, 단순한 수학 퍼즐 차원에서 생각해보아요.)

# 4.

 정사각형 테이블의 네 모서리에 4개의 컵이 각각 놓여있습니다.

 그 중 몇 개는 똑바로 놓여있고(컵 입구가 위를 향함), 다른 몇 개는 거꾸로 놓여있습니다(컵 입구가 아래를 향함).

 이제 당신은 눈을 가린 채 컵들의 방향이 같도록 만들어야 합니다(즉, 모두 똑바로 놓거나 모두 거꾸로 놓음).

 규칙은 다음과 같습니다.

   a. 당신은 한 번에 두 개의 컵을 만져볼 수 있습니다. 당신은 그 두 컵의 방향을 마음대로 바꿀 수 있습니다.

      (둘 다 뒤집거나, 하나만 뒤집거나, 아니면 둘 다 뒤집지 않을 수 있습니다.)

   b. a 시행 후에도 모든 컵의 방향이 일치하지 않은 경우, 테이블은 무작위 각도로 회전하며, 다시 a의 절차를 수행합니다.

   c. a 시행 후 모든 컵의 방향이 같아지는 즉시 벨이 울립니다.

 a를 유한한 횟수만큼 시행해 모든 컵의 방향을 반드시 일치시킬 수 있음을 증명하십시오.

 (확률과 운(luck)에 무관하게 가능해야 합니다. 참고로, 컵이 5개 이상인 경우 운 없이는 컵들의 방향을 일치시킬 수 없다고 합니다.)

[aksiz]

1. 일단 눈에 보이는 가장 쉬운건 9909네요. 그보다 높이 갈려면 0에서 아랫부분을 뺀게 "^" 라고 가정하면 되긴 하겠네요. (9 ^ 98) 근데 이건 제가 생각해도 아닌듯.
2. 스킾.
3. 이진탐색. 50층에서 떨궈보고 깨지면 25층, 안깨지면 75층 이런식으로 탐색하는게 가장 효율적입니다. 한번 할때마다 반씩 주므로 50, 25, 13, 7, 4, 2, 1 해서 총 7번 떨구면 됩니다.

[Drrrr]

1. 요건 밑에 다윈 워터슨님 말대로 0을 1로 만들면 됩니다!

3. 으아아ㅏㅏ아아아아아아ㅏㅏ앙아아아ㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏ아앙
죄송합니다. 제가 영어로 쓰여진 문제를 옮겨오다보니 해석을 잘못했습니다 ㅠㅠㅠ
주어진 알의 개수가 무제한이라면 말씀하신 대로 하는 게 정답입니다만,
이 문제의 핵심은 '주어진 알이 단 2개일 때' 알을 최소한으로 떨어뜨리는 방법을 묻는 것이었습니다;;;
사실 제가 문제를 잘못 이해해서 '알이 2개'라는 부분을 스킵하고 옮겨왔네요. 우아앙아아유ㅠ
문제는 수정했습니다.

[aksiz]

4. 일단 컵을 만지는건 사실상 두가지 방법밖에 없죠. 대각선의 컵을 만지거나, 한 면에 있는 컵 두개를 만지던가.
일단 편의상 X는 거꾸로, O는 똑바로된 컵을 의미하고, [1234] 순서로 표기하면, 컵이 1=왼쪽 위, 2=오른쪽 위, 3=왼쪽 아래, 4=오른쪽 아래 자리의 컵을 의미한다고 칩시다.

기본적으로 3가지 가능한 형태가 있습니다.
A 형태:XOOX, B형태:XXOO, C형태:XOOO
A형태 라는걸 알면 대각선을 잡아서 뒤집는것만으로 답이 나오죠.
B형태 라는걸 알면 일단 한 면을 뒤집는것으로 A로 만들거나, 모든 컵의 방향이 같아지게 만들 수 있습니다.
C형태 라는걸 알면 한 면을 만지고, X가 있다면 X를 O로 뒤집는걸로 끝. OO를 만졌다면 하나만 X로 뒤집고, 대각선을 체크하면 A형태가 됬는지 B형태가 됬는지를 체크할 수 있습니다. 풀면 됩니다.

자 이제 아무것도 모르는 상태에서 C형태를 만들어 봅시다. 한 면을 체크, 둘다 같은 방향(O)으로 만듭니다.
??OO 가 됬죠. 만약 ??가 OO라면 조건 완수이므로, ?? 는 OX, XX 중 하나겠죠. (XO인 경우는 OX와 동일 합니다)
대각선을 체크합니다. 만약 둘다 O라면, XOOO 라는걸 확인 할 수 있습니다. 만약 X가 만져진다면, X를 뒤집어 O로 바꾸면, 모두 O가 되거나, XOOO로 바꾼게 됩니다.
자 이제 C형태가 됬네요. 위에 설명한대로 풀으면 됩니다.

[다윈 워터슨]

1. 두번째 0의 위아래를 빼서 맨뒤에 1을만든다? 511081

[Drrrr]

사실은 511081보다 511108이 더 크답니다 (소곤소곤)

[다윈 워터슨]

흐익 그렇네욬ㅋ

[소리를고래고래]

2번 중앙에 숫자부터 대칭에 있는 숫자를 더하면 13, 14, 15 그럼 ?는 15아닐까요.

[소리를고래고래]

3번 알을 1층에서부터 한층씩 올라가며 떨어뜨리고 줍고 떨어뜨리고 줍고 하면 됩니다.

[Drrrr]

2. 아.... 음... 그런 방법도 있군요;;; 하핫
수학적인 규칙이 아닌 다른 방식으로 접근한다면 다른 답도 나온답니다! 영어라든가 영어라든가 영어라든가...

3. 그렇게 하면 최고 층수를 알 수는 있습니다만, 100층이면 100번을 시행해야하죠(...)
그렇게 일일이 확인하는 것 말고 횟수를 최소화하는 방법이 있습니다!

[다윈 워터슨]

2번 t가 안들어간 다음수 100 인가요?

[Drrrr]

맞습니다! ㅇㅅㅇ

[소리를고래고래]

1, 10, 20, 30 이렇게 10층단위로 떨어뜨려서 만약 30층에 깨진다면 21층부터 확인하는게 가장 적게 나오는 방법 아닐까요. 제 머리로는 이게 한계네요.

[aksiz]

총 x번 던져서 답을 구해야 한다고 합시다.

첫 시도는 x층에서 시작해야 합니다. 그래야 깨진경우 두번째 계란으로 1층 ~ x-1층까지 시도하면 답을 구할 수 있겠죠. (처음 x층에서 던진거 포함 총 x번 던짐)
만약 안깨졌다면, 다음번 시도는 x+x-1(=2x-1)층 에서 해야합니다. 그래야 깨졌다면 x+1 ~ 2x-2층을 시도하는걸로 답을 구할 수 있거든요. (그래야 총 x번 던짐)
그럼 계속해서 안깨졌다면 2x-1+x-2(=3x-3)층에서 시도하면 됩니다. 깨졌다면 2x ~ 3x-4층을 시도하면 됩니다. (역시 이래야 총 x번 던짐)
이런식으로 쭉 가는거죠.

즉 계란이 안깨질때마다 점프하는 층수는 1식 줄어듭니다. 최소 100층은 커버해야하니, 식으로 쓰자면 x + (x-1) + (x-2) + ... 2 + 1 >= 100 이 돼야 하는거죠.
바꿔말하면 1~x 까지 다 더했을때 100이랑 같거나 큰 조건을 만족하는 가장 작은 x를 찾으면 됩니다.
1~x 까지의 합 = x(x+1)/2 >= 100
대충 숫자들을 x(x+1)/2 에 대입해 보면, x=13일때 91, x=14일때 105가 나옵니다.

최악의 경우라도 14번 던지면 구할 수 있겠네요.
1. 14층에서 시작, 깨졌다면 1~13 층을 시도,
2. 안깨졌다면 14+13=27층에서 시도. 깨졌다면 15~26층(12층)을 시도
3. 안깨졌다면 27+12=39층에서 시도. 깨졌다면 28~38층(11층)을 시도
...
11. 95+4=99층에서 시도. 깨졌다면 96~98층(3층)을 시도
12. 안깨졌다면 100층 시도.

[Drrrr]

굉장하십니다 ⊙_⊙

[아보라카타브라]

4번은 문제를 보아할 때 푸는 사람(당신)이 컵이 어떻게 놓여져 있는지를 모르는 건 아닌 모양입니다
(컵의 위치를 모른다는 표현은 없고 '이제'라는 걸 보아 '당신'은 컵이 어떻게 놓여 있는지 충분히 본 후에 눈을 가리는 게 허가되는 듯 합니다)
더욱이 '몇 개는 똑바로 놓여져 있고 다른 몇 개는 거꾸로 놓여져' 있다고 적혀 있는데 1개,2개처럼 확실히 숫자가 명시되어 있지 않은 걸 보아
1개,3개여도 이상하진 않아 보입니다(아마 이 부분은 고정관념을 노린 함정이 아닐까 싶군요. 보통 '몇 개' 하면 복수로 생각하기 마련이니까요)
즉 수학적 능력이 아니라 단순히 기억력에 의존하면 쉽게 풀릴 문제로 보이는군요. 가령 위로 향한 컵을 1 밑으로 향한 컵을 2라고 칠 때
1 1
2 2

가 될 수도 있고

1 1

1 2

혹은

2 1

1 2

등 많은 경우의 수가 탄생하는데 여기선

2 1

1 2

가 컵의 위치라고 가정하고 풀어보겠습니다.

풀이법은 간단합니다. 일단 컵의 위치를 외운 후에

1

1

혹은

2

2

의 컵을 뒤집어 주면 됩니다.

설령

1 1

1 2

의 경우도 똑같이 컵의 위치를 외워준 후에 2의 컵을 뒤집어 주면 되죠.

운이나 확률과 무관하게 성공할 수 있음을 증명하라고 했는데 기억력은 운이나 확률이 아니라 실력에 포함되므로 문제 없을 것 같군요.