[질문] 오일러 다면체 정리에서 질문

[페이퍼마스터]

3차원에서의 오일러 정리가 

v + e - f = 2 를 항상 만족한다고 하는데

만약에 두 정사면체가 하나의 점을 공유 한다고 할때

v + e - f = 3 이 됩니다.

이것에 대한 증명은 어떻게 되나요?

[구명랑]

우선 v + e - f 가 아니고 v - e + f 입니다. v는 점, e는 모서리, f는 면이죠. 아마 실수 하신 듯.

우선 첫째로 v - e + f = 2 인 경우는 다면체의 경우인데 만약 그 다면체가 고무로 되어있고 그 안에 바람을 집어넣었을 때 최종적으로 구형이 나는 모양에서만 적용이 됩니다. 그러므로 v - e + f = 2 인 다면체를 "구형 다면체" 라고 부르겠습니다. 참고로 바람을 넣었을 때 도넛처럼 가운데 구멍이 뚫린 모양이 된다면 v - e + f = 0 이 됩니다.

만약 같은 구형 다면체가 2개 있다면 v - e + f 는 어떻게 될까요? 간단히 생각하면 점, 선, 면이 모두 2배가 되므로 v - e + f = 4 가 됩니다. 모양이 다른 다면체라 하더라도 어차피 v - e + f = 2 이므로 두개를 더하면 v - e + f = 4 가 됩니다. 3개 있으면 v - e + f = 6 이 되겠죠.

그 2개의 구형 다면체가 한 개의 꼭지점을 공유한다고 해봅시다. 그렇다면 점, 선, 면의 개수 중에 점이 하나가 줄겠죠. 따라서 원래 v - e + f = 4 여야 하는 것이 v에서 하나가 줄어드는 바람에 v - e + f = 3 이 되는 겁니다.

그렇다면 한 개의 모서리를 공유한다고 해볼까요? 한 개의 모서리에는 2개의 점이 같이 있으므로 점이 2개 줄고 선이 1개 주는 것과 같습니다. 따라서 원래 v - e + f = 4 에서 v가 2개 줄고 e가 한개 줄어들면 전체적으로 1이 줄어드는 것과 같으므로 v - e + f = 3 이 됩니다.

그렇다며 한 개의 면을 공유 한다고 해볼께요. 한 개의 면에는 4개의 점, 4개의 선이 있습니다. 그런데 면은 1개가 아니라 2개가 줄어듭니다. 왜냐하면 점이나 선은 2개가 붙어서 1개가 되지만 면이 2개가 붙으면 도형의 내부가 되어버리기 때문에 갯수에서 둘다 사라져 버립니다. 따라서 원래 v - e + f = 4 에서 v 4개가 줄어들고, e 4개가 줄어드는데다가 f 가 2개 줄어들므로 전체적으로는 2개가 줄어들게 되어서 v - e + f = 2 가 됩니다. 즉, 하나의 구형 다면체로 인식이 된다는 거죠.

[페이퍼마스터]

점과 선을 공유하는것에 대해서는 증명할 수 없습니까?
그리고 내부의 면은 왜 줄어들었다고 가정합니까?

[페이퍼마스터]

2차원에서는 위상적인 문제가 없는 건가요?

[페이퍼마스터]

오히려 더 이상해 보이는데요;;;
2차원과는 다르게 없던 조건들도 붙고...
이것에 대한 증명을 직접 확인하고싶네요

[구명랑]

직접 확인하고 싶으시면 쌓기 나무나 맥포머스 같은 걸로 모형을 직접 만들어 보시면 좋겠네요.